ALGORITMA GREEDY

Algoritma greedy berasal dari bahasa inggris, greedy yang berarti rakus atau tamak. Prinsip dari greedy sendiri yaitu “take what you get now!” atau ambil yang kamu dapatkan sekarang dengan membentuk solusi langkah perlangkah (step by step) dan pada setiap langkah terdapat banyak pilihan untuk dieksplorasi. Oleh karena itu dalam setiap langkah diperlukan keputusan terbaik dalam menentukan pilihan.
Pada setiap langkah, kita membuat pilihan optimum lokal (local optimum)
dengan harapan bahwa langkah sisanya  mengarah ke solusi optimum global (global optimm).

Algoritma Greedy merupakan metode yang paling populer untuk memecahkan persoalan optimasi. Hanya ada dua optimasi yaitu : Maksimasi (Maximization) dan Minimasi (Minimization).
Contoh persoalan optimasi:


 ( Masalah Penukaran Uang): Diberikan uang senilai A. Tukar A dengan koin-koin uang yang ada. Berapa jumlah minimum koin yang diperlukan untuk penukaran tersebut?
è Persoalan minimasi
Contoh 1: tersedia banyak koin 1, 5, 10, 25
Uang senilai A = 32 dapat ditukar dengan banyak cara berikut:
      32 = 1 + 1 + … + 1                (32 koin)
      32 = 5 + 5 + 5 + 5 + 10 + 1 + 1    (7 koin)
      32 = 10 + 10 + 10 + 1 + 1        (5 koin)
      … dst       
Minimum: 32 = 25 + 5 + 1 + 1       (4 koin)
Elemen-elemen algoritma greedy:
    1. Himpunan kandidat, C.
    2. Himpunan solusi, S
    3. Fungsi seleksi (selection function)
    4. Fungsi kelayakan (feasible)
    5. Fungsi obyektif
Dengan kata lain:
    algoritma greedy melibatkan pencarian sebuah himpunan bagian, S, dari himpunan kandidat, C;
    yang dalam hal ini, S harus memenuhi beberapa kriteria yang ditentukan, yaitu menyatakan suatu solusi dan S dioptimisasi oleh fungsi obyektif.
Pada masalah penukaran uang:
Himpunan kandidat: himpunan koin yang merepresentasikan nilai 1, 5, 10, 25, paling sedikit mengandung satu koin untuk setiap nilai.
Himpunan solusi: total nilai koin yang dipilih tepat sama jumlahnya dengan nilai uang yang ditukarkan.
Fungsi seleksi: pilihlah koin yang bernilai tertinggi dari himpunan kandidat yang tersisa.
Fungsi layak: memeriksa apakah nilai total dari himpunan koin yang dipilih tidak melebihi jumlah uang yang harus dibayar.
Fungsi obyektif: jumlah koin yang digunakan minimum.
Skema Umum Algoritma Greedy
Pada akhir setiap lelaran, solusi yang terbentuk adalah optimum lokal.
Pada akhir kalang while-do diperoleh optimum global.
Warning: Optimum global belum tentu merupakan solusi optimum (terbaik), tetapi sub-optimum atau pseudo-optimum.
Alasan:
1. Algoritma greedy tidak beroperasi secara menyeluruh terhadap semua alternatif solusi yang ada (sebagaimana pada metode exhaustive search). 
2. Terdapat beberapa fungsi SELEKSI yang berbeda, sehingga kita harus memilih fungsi yang tepat jika kita ingin algoritma menghasilkan solusi optiamal.
Jadi, pada sebagian masalah algoritma greedy tidak selalu berhasil memberikan solusi yang optimal.



Contoh – contoh Algoritma Greedy
1. Masalah penukaran uang
    Nilai uang yang ditukar: A
          Himpunan koin (multiset):  {d1, d2, …, dn}.
Himpunan solusi: X = {x1, x2, …, xn},
        xi = 1 jika di dipilih, xi = 0 jika di tidak dipilih.




Penyelesaian dengan exhaustive search
Terdapat 2n kemungkinan solusi
    (nilai-nilai X = {x1, x2, …, xn} )
Untuk mengevaluasi fungsi obyektif = O(n)

Kompleksitas algoritma exhaustive search seluruhnya = O(n × 2n ).
Penyelesaian dengan algoritma greedy
Strategi greedy:  Pada setiap langkah, pilih koin dengan nilai  terbesar dari himpunan koin yang tersisa.

Agar pemilihan koin berikutnya optimal, maka perlu mengurutkan himpunan koin dalam urutan yang menurun (noninceasing order).
Jika himpunan koin sudah terurut menurun, maka kompleksitas algoritma greedy = O(n).
Sayangnya, algoritma greedy untuk masalah penukaran uang ini tidak selalu menghasilkan solusi optimal (lihat contoh sebelumnya). 

2. Minimisasi Waktu di dalam Sistem (Penjadwalan)
Persoalan: Sebuah server (dapat berupa processor, pompa, kasir di bank, dll) mempunai n pelanggan (customer, client) yang harus dilayani. Waktu pelayanan untuk setiap pelanggan i adalah ti.
    Minimumkan total waktu di dalam sistem: 
   
     T =          (waktu di dalam sistem)
Ekivalen dengan meminimumkan waktu rata-rata pelanggan di dalam sistem.
Contoh 3:  Tiga pelanggan dengan
    t1 = 5,    t2 = 10,     t3 = 3,
Enam urutan pelayanan yang mungkin:
============================================
Urutan        T 
============================================                                               
1, 2, 3:    5 + (5 + 10) + (5 + 10 + 3 ) = 38
1, 3, 2:     5 + (5 + 3) + (5 + 3 + 10) = 31
2, 1, 3:    10 + (10 + 5) + (10 + 5 + 3) = 43
2, 3, 1:    10 + (10 + 3) + (10 + 3 + 5) = 41
3, 1, 2:    3 + (3 + 5) + (3 + 5 + 10) = 29 ¬ (optimal)
3, 2, 1:    3 + (3 + 10) + (3 + 10 + 5) = 34
============================================
Penyelesaian dengan Exhaustive Search
Urutan pelangan yang dilayani oleh server merupakan suatu permutasi
Jika ada n orang pelanggan, maka tedapat n! urutan pelanggan
Untuk mengevaluasi fungsi obyektif : O(n)
Kompleksitas algoritma exhaustive search = O(nn!)
Penyelesaian dengan algoritma greedy
Strategi greedy: Pada setiap langkah, pilih pelanggan yang membutuhkan waktu pelayanan terkecil di antara pelanggan lain yang belum dilayani.

Agar proses pemilihan pelanggan berikutnya optimal, urutkan pelanggan berdasarkan waktu pelayanan dalam urutan yang menaik.
Jika pelanggan sudah terurut, kompleksitas algoritma greedy = O(n).

Algoritma greedy untuk penjadwalan pelanggan akan selalu menghasilkan solusi optimum.
Teorema. Jika t1 £ t2 £ … £ tn maka pengurutan  ij = j,  1 £ j £ n  meminimumkan
       
T =   
  untuk semua kemungkinan permutasi ij.

3. Integer Knapsack

Penyelesaian dengan exhaustive search
Sudah dijelaskan pada pembahasan exhaustive search.
Kompleksitas algoritma exhaustive search untuk persoalan ini =  O(n × 2n).
Penyelesaian dengan algoritma greedy
Masukkan objek satu per satu ke dalam knapsack. Sekali objek dimasukkan ke dalam knapsack, objek tersebut tidak bisa dikeluarkan lagi.
Terdapat beberapa strategi greedy yang heuristik yang dapat digunakan untuk memilih objek yang akan dimasukkan ke dalam knapsack:
1. Greedy by profit.
    - Pada setiap langkah, pilih objek yang
         mempunyai keuntungan terbesar.
      -  Mencoba memaksimumkan keuntungan
       dengan memilih objek yang paling
         menguntungkan terlebih dahulu.
2. Greedy by weight.
    - Pada setiap langkah, pilih objek yang
          mempunyai berat teringan.
       - Mencoba memaksimumkan keuntungan
      dengan dengan memasukkan sebanyak mungkin 
         objek ke dalam knapsack.
3. Greedy by density.
    - Pada setiap langkah, knapsack diisi dengan objek
          yang mempunyai pi /wi  terbesar. 
    - Mencoba memaksimumkan keuntungan dengan
          memilih objek yang mempunyai keuntungan
          per unit berat terbesar.
Pemilihan objek berdasarkan salah satu dari ketiga strategi di atas tidak menjamin akan memberikan solusi optimal.
Contoh 4.
    w1 = 2;   p1 = 12;      w2 = 5;    p1 = 15;
     w3 = 10;  p1 = 50;    w4 = 5;    p1 = 10
    Kapasitas knapsack K = 16

Solusi optimal: X = (0, 1, 1, 0)
Greedy by profit dan greedy by density  memberikan solusi optimal
Contoh 5.
    w1 = 100;   p1 = 40;         w2 = 50;    p2 = 35;        w3 = 45;     p3 = 18;
     w4 = 20;    p4 = 4;       w5 = 10;     p5 = 10;    w6 = 5;      p6 = 2
    Kapasitas knapsack K = 100Ketiga strategi gagal memberikan solusi  optimal!
Kesimpulan: Algoritma greedy tidak selalu berhasil menemukan solusi optimal untuk masalah 0/1 Knapsack.
4. Fractional Knapsack
Penyelesaian dengan exhaustive search
Oleh karena 0 £ xi £ 1, maka terdapat tidak berhinga nilai-nilai xi.
Persoalan Fractional Knapsack menjadi malar (continuous) sehingga tidak mungkin dipecahkan dengan algoritma  exhaustive search.
Penyelesaian dengan algoritma greedy
Ketiga strategi greedy yang telah disebutkan di atas dapat digunakan untuk memilih objek yang akan dimasukkan ke dalam knapsack.
Contoh 6.
    w1 = 18;    p1 = 25;   w2 = 15;    p1 = 24
    w3 = 10;    p1 = 15    Kapasitas knapsack K = 20

   Solusi optimal:  X = (0, 1, 1/2)
  yang memberikan keuntungan maksimum = 31,5.
Strategi pemilihan objek berdasarkan densitas pi /wi terbesar akan selalu memberikan solusi optimal.
Agar proses pemilihan objek berikutnya optimal, maka kita urutkan objek berdasarkan pi /wi yang menurun,  sehingga objek berikutnya yang dipilih adalah objek sesuai dalam urutan itu.
    Teorema 3.2. Jika p1/w1 ³ p2/w2 ³ ... ³ pn/wn maka algoritma greedy dengan strategi pemilihan objek berdasarkan pi /wi terbesar menghasilkan solusi yang optimum.
Algoritma persoalan fractional knapsack:
    1. Hitung harga pi/wi , i = 1, 2, ..., n
    2. Urutkan seluruh objek berdasarkan
        nilai pi/wi dari besar ke kecil
    3. Panggil FractinonalKnapsack

0 comments:

Posting Komentar

Silahkan Komentar, Kritik atau Saran.

 
Top